Số hữu tỉ là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng nhất của toán học. Từ tiểu học đến trung học, chúng ta đều tiếp xúc với các con số, nhưng đã bao giờ bạn tự hỏi số hữu tỉ là gì một cách sâu sắc chưa? Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ về số hữu tỉ, các phép toán liên quan, cách so sánh, những dạng bài tập thường gặp và đặc biệt là những ứng dụng thú vị của chúng trong cuộc sống hàng ngày.
1. Số hữu tỉ là gì?
Trong toán học, số hữu tỉ là bất kỳ số nào có thể biểu diễn dưới dạng một phân số a/b, trong đó a và b là các số nguyên và b phải khác 0. Tập hợp tất cả các số hữu tỉ được ký hiệu là Q.
Ví dụ:
- 1/2 là số hữu tỉ (vì a=1,b=2)
- 3 là số hữu tỉ (vì 3 có thể viết thành 3/1)
- −0.75 là số hữu tỉ (vì −0.75 có thể viết thành −3/4)
- 0 là số hữu tỉ (vì 0 có thể viết thành 0/1)
Lưu ý: Mọi số nguyên đều là số hữu tỉ, nhưng không phải mọi số hữu tỉ đều là số nguyên.
2. Các phép toán cơ bản với số hữu tỉ
Giống như các số tự nhiên hay số nguyên, số hữu tỉ cũng có thể thực hiện các phép toán cơ bản: cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa.
2.1. Phép cộng và phép trừ số hữu tỉ
Để cộng hoặc trừ hai số hữu tỉ, ta đưa chúng về cùng mẫu số rồi cộng hoặc trừ các tử số với nhau.
- Quy tắc:
- a/b+c/d=(ad+bc)/bd
- a/b−c/d=(ad−bc)/bd
- Ví dụ:
- 1/3+2/5=(1⋅5+2⋅3)/(3⋅5)=(5+6)/15=11/15
- 3/4−1/2=3/4−2/4=(3−2)/4=1/4
2.2. Phép nhân và phép chia số hữu tỉ
Trong phần này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách thực hiện hai phép toán quan trọng với số hữu tỉ: phép nhân và phép chia.
- Phép nhân: Để nhân hai số hữu tỉ, ta nhân tử số với tử số, mẫu số với mẫu số.
- Quy tắc: a/b⋅c/d=(a⋅c)/(b⋅d)
- Ví dụ: 2/3⋅4/5=(2⋅4)/(3⋅5)=8/15
- Phép chia: Để chia hai số hữu tỉ, ta giữ nguyên số bị chia và nhân với số nghịch đảo của số chia.
- Quy tắc: a/b:c/d=a/b⋅d/c=(a⋅d)/(b⋅c) (với c=0)
- Ví dụ: 3/4:1/2=3/4⋅2/1=(3⋅2)/(4⋅1)=6/4=3/2
2.3. Lũy thừa của số hữu tỉ
Lũy thừa của một số hữu tỉ được tính tương tự như lũy thừa của số nguyên.
- Quy tắc: (a/b)n=an/bn (với n là số tự nhiên)
- Ví dụ: (2/3)2=22/32=4/9
3. So sánh hai số hữu tỉ
Để so sánh hai số hữu tỉ, ta có thể áp dụng một trong các cách sau:
- Cách 1: Đưa về cùng mẫu dương
- Quy đồng mẫu số của hai số hữu tỉ.
- So sánh các tử số. Số hữu tỉ nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
- Cách 2: So sánh với 0:
- Nếu một số hữu tỉ dương và một số hữu tỉ âm, số dương luôn lớn hơn.
- Nếu cả hai cùng dương hoặc cùng âm, ta có thể so sánh giá trị tuyệt đối hoặc quy đồng mẫu số.
Ví dụ: So sánh 1/2 và 3/4:
- Quy đồng mẫu số: 1/2=2/4.
- So sánh 2/4 và 3/4. Vì 2<3 nên 2/4<3/4, vậy 1/2<3/4.
4. Các dạng bài tập thường gặp về số hữu tỉ
Nắm vững các dạng bài tập sẽ giúp bạn tự tin hơn khi làm bài kiểm tra và áp dụng vào thực tế.
4.1. Dạng 1: Thực hiện các phép tính với số hữu tỉ (cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa)
Đây là dạng bài tập cơ bản nhất, yêu cầu áp dụng đúng các quy tắc phép toán.
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức A=3/4+(−1/2)⋅5/6
Lời giải: A=3/4+(−1⋅5)/(2⋅6) A=3/4+(−5/12) A=9/12−5/12 A=4/12=1/3
4.2. Dạng 2: Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số
Mỗi số hữu tỉ đều tương ứng với một điểm trên trục số. Để biểu diễn, bạn cần chia đơn vị thành các phần bằng nhau tùy theo mẫu số.
Ví dụ: Biểu diễn số hữu tỉ 2/3 trên trục số.
Hướng dẫn: Chia đoạn thẳng đơn vị (từ 0 đến 1) thành 3 phần bằng nhau. Điểm thứ 2 kể từ 0 về phía dương chính là điểm biểu diễn 2/3.
4.3. Dạng 3: Xác định một số hữu tỉ là số dương, số âm hay bằng 0
- Số hữu tỉ a/b là số dương nếu a và b cùng dấu.
- Số hữu tỉ a/b là số âm nếu a và b khác dấu.
- Số hữu tỉ a/b bằng 0 nếu a=0.
Ví dụ: Xác định dấu của các số hữu tỉ sau: −3/5, 7/2, 0/−4.
Lời giải:
- −3/5: Tử số âm, mẫu số dương → Số âm.
- 7/2: Tử số dương, mẫu số dương → Số dương.
- 0/−4: Tử số bằng 0→ Bằng 0.
4.4. Dạng 4: Tìm số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện cho trước
Dạng bài này thường yêu cầu tìm một số hữu tỉ nằm giữa hai số hữu tỉ cho trước hoặc thỏa mãn một tính chất cụ thể.
Ví dụ: Tìm một số hữu tỉ nằm giữa 1/3 và 1/2.
Lời giải: Để tìm một số hữu tỉ nằm giữa hai số, ta có thể quy đồng mẫu số rồi tìm một tử số nằm giữa hai tử số đó. 1/3=2/6 1/2=3/6 Giữa 2/6 và 3/6 không có số nguyên nào. Ta tiếp tục quy đồng với mẫu số lớn hơn: 1/3=4/12 1/2=6/12 Giữa 4/12 và 6/12 có 5/12. Vậy 5/12 là một số hữu tỉ nằm giữa 1/3 và 1/2. (Lưu ý: Có vô số số hữu tỉ nằm giữa hai số hữu tỉ bất kỳ.)
4.5. Dạng 5: Tìm x trong các biểu thức chứa số hữu tỉ (phương trình cơ bản)
Áp dụng các quy tắc chuyển vế, đổi dấu, nhân chia để tìm x.
Ví dụ: Tìm x biết x+1/3=2/5.
Lời giải: x=2/5−1/3 x=6/15−5/15 x=1/15
4.6. Dạng 6: Tìm điều kiện của biến để một biểu thức là số nguyên
Dạng này thường gặp khi biểu thức có dạng phân số và cần tử số chia hết cho mẫu số.
Ví dụ: Tìm số nguyên x để biểu thức A=(x+1)/(x−2) là số nguyên.
Lời giải: Ta có A=(x+1)/(x−2)=(x−2+3)/(x−2)=1+3/(x−2). Để A là số nguyên, thì 3/(x−2) phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là (x−2) phải là ước của 3. Các ước của 3 là: 1,−1,3,−3.
- Nếu x−2=1⇒x=3
- Nếu x−2=−1⇒x=1
- Nếu x−2=3⇒x=5
- Nếu x−2=−3⇒x=−1 Vậy các giá trị nguyên của x để A là số nguyên là: {−1,1,3,5}.
4.7. Dạng 7: Bài toán có lời văn ứng dụng số hữu tỉ
Đây là dạng bài tập giúp bạn vận dụng kiến thức số hữu tỉ vào các tình huống thực tế.
Ví dụ: Một cửa hàng bán 3/5 số mét vải trong ngày đầu tiên, ngày thứ hai bán 1/4 số mét vải còn lại. Hỏi sau hai ngày cửa hàng còn lại bao nhiêu phần số mét vải ban đầu?
Lời giải:
- Số vải còn lại sau ngày đầu tiên: 1−3/5=2/5 (tổng số vải).
- Số vải bán được trong ngày thứ hai: 1/4⋅2/5=2/20=1/10 (tổng số vải).
- Tổng số vải đã bán sau hai ngày: 3/5+1/10=6/10+1/10=7/10 (tổng số vải).
- Số vải còn lại sau hai ngày: 1−7/10=3/10 (tổng số vải). Vậy, sau hai ngày cửa hàng còn lại 3/10 số mét vải ban đầu.
5. Ứng dụng của số hữu tỉ trong thực tế
Số hữu tỉ không chỉ là một khái niệm trừu tượng trong sách giáo khoa mà còn có vô vàn ứng dụng thiết thực trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta.
5.1. Đo lường, chia tỷ lệ
Số hữu tỉ không chỉ tồn tại trong sách vở mà còn đóng vai trò quan trọng trong đời sống hằng ngày, đặc biệt là trong việc đo lường và chia tỷ lệ.
- Nấu ăn: Khi bạn làm bánh, công thức thường yêu cầu 1/2 cốc bột, 3/4 thìa cà phê đường. Đây chính là cách sử dụng số hữu tỉ để đo lường.
- Xây dựng và kiến trúc: Kỹ sư, kiến trúc sư sử dụng số hữu tỉ để tính toán tỉ lệ các bộ phận của công trình, đảm bảo sự cân đối và chính xác. Ví dụ, tỷ lệ 1:20 trên bản vẽ có nghĩa là 1 đơn vị trên bản vẽ tương ứng với 20 đơn vị ngoài thực tế.
- May mặc: Khi cắt may quần áo, người thợ cần tính toán tỉ lệ vải, số đo sao cho phù hợp với kích thước yêu cầu.
5.2. Tài chính, tính toán lãi suất
Trong lĩnh vực tài chính, chúng ta thường xuyên bắt gặp và sử dụng các số hữu tỉ mà không hề để ý.
- Lãi suất ngân hàng: Khi gửi tiết kiệm, lãi suất thường được tính theo phần trăm (ví dụ 5%/năm). 5% chính là 5/100, một dạng số hữu tỉ.
- Chia lợi nhuận/chia tài sản: Trong kinh doanh hoặc thừa kế, việc chia lợi nhuận hay tài sản theo tỷ lệ nhất định (1/3, 2/5,…) đều liên quan đến số hữu tỉ.
- Giảm giá, khuyến mãi: Các chương trình giảm giá 10%,20%,… đều là ứng dụng của số hữu tỉ để tính toán số tiền được giảm.
Hy vọng bài viết này của Westlink đã giúp bạn hiểu rõ hơn về số hữu tỉ là gì, cách thực hiện các phép toán, so sánh, giải quyết các dạng bài tập và nhìn nhận những ứng dụng thực tế của chúng. Số hữu tỉ thực sự là một phần không thể thiếu trong nền tảng toán học và cuộc sống hàng ngày của chúng ta.
